Với hàm số f ( x ) = { x sin π x k h i x ≠ 0 0 k h i x = 0 . Để tìm đạo hàm f′(0) một học sinh lập luận qua các bước sau: Bước 1: | f ( x ) | = | x | ∣ ∣ s i n π x ∣ ∣ ≤ | x | Bước 2

Với hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\sin \frac{\pi }{x}\,\,khi\,\,x \ne 0}\\{0\,\,khi\,\,x = 0}\end{array}} \right.\). Để tìm đạo hàm f′(0) một học sinh lập luận qua các bước sau:

Bước 1: \[\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right|{\rm{ = }}\left| {\rm{x}} \right|\left| {{\rm{sin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{x}}}} \right| \le \left| {\rm{x}} \right|\]

Bước 2: Khi x → 0 thì \[\left| {\rm{x}} \right| \to 0\] nên \[\left| {{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)} \right| \to 0 \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) \to 0\]

Bước 3: Do \[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ + }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{x}} \to {0^ - }} {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = f}}\left( {\rm{0}} \right){\rm{ = 0}}\] nên hàm số liên tục tại x = 0.

Bước 4: Từ f(x) liên tục tại \[{\rm{x}} = 0 \Rightarrow {\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right)\] có đạo hàm tại x = 0.

Lập luận trên nếu sai thì bắt đầu từ bước nào?