Với giá trị nào của x, mỗi đẳng thức sau đúng? a) tan x cot x = 1; b) 1 + tan^2 x = 1/cos ^2x; c) 1 + cot^2 x = 1/sin ^2x; d) tan x + cot x = 2/sin 2x

Lời giải

a) Đẳng thức tan x cot x = 1 đúng với mọi x khi tan x và cot x có nghĩa, tức là

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\end{array} \right.\)⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) \( \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) Đẳng thức 1 + tan² x = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) đúng với mọi x khi cos x ≠ 0, tức là x ≠ \(\frac{\pi }{2}\) + kπ (k ∈ ℤ).

c) Đẳng thức 1 + cot² x = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) đúng với mọi x khi sinx ≠ 0, tức là x ≠ kπ (k ∈ ℤ).

d) Đẳng thức tan x + cot x = \(\frac{2}{{\sin 2x}}\) đúng với mọi x khi

\(\left\{ \begin{array}{l}\sin x \ne 0\\\cos x \ne 0\\\sin 2x \ne 0\end{array} \right.\)⇔ 2sin x cos x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ 0 ⇔ 2x ≠ kπ (k ∈ ℤ) \( \Leftrightarrow x \ne k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).