Với giá trị nào của tham số m để đồ thị hàm số y = x^3 − 3x^2 + m có hai điểm cực trị A , B thỏa mãn OA = OB ( O là gốc tọa độ)?

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\).

\(y' = 3{x^2} - 6x\), \(y' = 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 2\end{array} \right.\).

Do đó đồ thị hàm số đã cho luôn có hai điểm cực trị lần lượt có tọa độ là \(A\left( {0;m} \right)\) và \(B\left( {2; - 4 + m} \right)\).

Ta có \(OA = OB \Leftrightarrow \sqrt {{0^2} + {m^2}} = \sqrt {{2^2} + {{\left( {4 - m} \right)}^2}} \Leftrightarrow {m^2} = 4 + {\left( {4 - m} \right)^2}\)\( \Leftrightarrow 20 - 8m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{2}\).