Với các số thực x, y thỏa mãn x − căn x+6 = căn y+6 − y. Tìm giá trị lớn nhất của biếu thức P = x + y

Ta có: x − x+6  =  y+6 − y

<=>x + 6 – 2.  12. x+6 + 14  + y + 6 − 2.  12. y+6 +  14 =  252

<=> x+6−122+y+6−122=  252

Đặt a =  x+6 −  12; b =  y+6 − 12 nên a ≥ −  12; b ≥ −  12 

Và a² + b² =  252. Do đó − 12 ≤ a ≤  72; − 12 ≤ b ≤ 72

Ta có: (a − b)² ≥ 0

 <=> a² − 2ab + b² ≥ 0

<=> a² + b² ≥ 2ab

 <=> a² + b² + a² + b² ≥ 2ab + a² + b²

 <=> 2(a² + b²) ≥ (a + b)²

 a + b ≤  2a2+ b2 =  2.252 = 5

Đặt a =  x+6 −  12 nên:

a + 12 =  x+6

=>  a+122   =  x+6

 <=>  a² + 2. a. 12 +  14 = x + 6

<=> x = a² + a12 +  14 − 6

<=>  x = a² + a −  234

Đặt b =   y+6−  12 nên:

b + 12=  y+6

 b+122   =  y+62

<=>  b² + 2. b. 12 +  14 = y + 6

 <=>  y = b² + b +  14 − 6

<=>  y = b² + b −  234

Ta có: S = x + y = a² + a −  234 + b² + b −  234

=  252 − 232  + a + b

= a + b + 1 ≤ 5 + 1 = 6

Dấu “=” xảy ra khi

 a=ba2+b2=252 

<=> a=bb2+b2=252

 

<=> a=b2b2=252

<=> a=bb=52

=>

 a = b = 52

=>  x+6−12=52y+6−12=52

<=>  x+6=52+12y+6=52+12

 

<=>  x+6=3y+6=3

<=>   x+62=32y+62=32

 <=>  x+6=9y+6=9

=> x = y = 3

Vậy giá trị lớn nhất của biếu thức P là 6 đạt được khi x = y = 3.