Với các số thực a và b thỏa mãn

Từ điều kiện \[{a^2} + {b^2} = 2\], ta có:

\[{\left( {a + b} \right)^2} - 2ab = 2 \Rightarrow ab = \frac{1}{2}{\left( {a + b} \right)^2} - 1\]

Đặt \[x = a + b\]. Khi đó \[P = 3x + \frac{1}{2}{x^2} - 1 = \frac{1}{2}{\left( {x + 3} \right)^2} - \frac{{11}}{2}\]

Ta có \[{\left( {a + b} \right)^2} \le 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \Rightarrow {x^2} \le 4 \Rightarrow  - 2 \le x \le 2\]

Do đó \[x + 3 \ge 1 \Rightarrow {\left( {x + 3} \right)^2} \ge 1 \Rightarrow P \ge  - 5\].

Dấu “=” xảy ra khi \[a = b =  - 1\].

Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \( - 5\).