Với các số thực a,b,c thỏa mãn 0<a<b≤c≤1 và 4a+b+c≤4, chứng minh a^2+b^2+c^2≤94.
• Vì \[0 < a < b \le \,\,c\,\, \le \,\,1\]nên \[c\, - \,b \ge \,0\] và \[c\,\, - 1\,\, \le \,\,0\], suy ra \[\left( {c\, - \,b} \right)\left( {c\,\, - 1} \right)\,\, \le \,\,0\]
\[{c^2}\,\, - c - bc\,\,\, + b \le \,\,0\]
\[{c^2}\,\, \le \,\,c + bc\,\, - b\]
\[16{c^2}\,\, \le \,16\,\left( {c + bc\,\, - b} \right)\]
\[16{c^2}\,\, \le \,16\,c\,\, + 16bc - 16b\,\] \[(1)\]
• Vì \[0 < a < b \le \,\,c\,\, \le \,\,1\]nên \[b > \,0\] và \[b\,\, - c\,\, \le \,\,0\], suy ra \[b\left( {b\,\, - c} \right)\,\, \le \,\,0\]
\[{b^2}\,\, - bc\,\,\, \le \,\,0\] nên \[{b^2}\,\, \le \,\,bc\] suy ra \[16{b^2}\,\, \le \,16\,bc\] \[(2)\]
• Vì \[0 < a < b \le \,\,c\,\, \le \,\,1\]và \[4a\, + \,\,b + \,\,c\,\, \le \,\,4\] nên \[4 - \,b\, - c > \,0\] và \[4a\, > 0\]
Ta có: \[4a\, + \,\,b + \,\,c\,\, \le \,\,4\]
\[4a\,\,\, \le \,\,4 - \,\,b - \,\,c\]
\[{\left( {4a} \right)^2}\,\,\, \le \,\,{\left( {4 - \,\,b - \,\,c} \right)^2}\]
\[16{a^2}\,\,\, \le \,\,16\, + \,\,{b^2} + {c^2} - 8b - \,8c + \,2bc\] \[(3)\]
Cộng vế với vế của \[(1)\],\[(2)\] và \[(3)\] ta được:
\[16{c^2}\, + 16{b^2}\, + \,\,16\,{a^2} \le \,\,\,\,16\,c\,\, + 16bc - 16b\, + 16bc + \,\,16\, + \,\,{b^2} + {c^2} - 8b - \,8c + \,2bc\]
\[16\left( {{c^2}\, + {b^2}\, + \,{a^2}} \right) \le \,\,\,\,\,\,{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16\,\]
\[{a^2}\, + {b^2}\, + \,{c^2} \le \,\,\,\,\,\frac{1}{{16}}\left( {{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16} \right)\,\,\]\[(4)\]
Để chứng minh \[{a^2}\, + {b^2} + c{\,^2}\, \le \,\,\frac{9}{4}\], Ta cần chứng minh: \[\,\,\,\frac{1}{{16}}\left( {{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16} \right)\, \le \,\,\,\frac{9}{4}\]
Hay \[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c + \,\,16 \le 36\] (nhân \[2\] vế với \[16\])
\[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c - 20 \le 0\]
Ta có: \[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c - 20\] = \[{b^2} + {c^2} + 10bc + \,24bc - 24b + \,8c - 20\]
= \[{b^2} + {c^2} + 10bc + \,24b\left( {c - 1} \right) + \,8c - 20\]
\[ \le {b^2} + {c^2} + 10bc + \,24.0 + \,8c - 20\] (vì \[c\,\, - 1\,\, \le \,\,0\]theo cmt hay \[24\left( {c\,\, - 1} \right)\,\, \le \,\,0\])
= \[{b^2} + {c^2} + 10bc + \,8c - 20\]
\[ \le {c^2} + {c^2} + 10.1.c + \,8c - 20\] (vì \[0 < \,b\,\, \le \,\,c \le 1\])
= \[2{c^2} + 1\,8c - 20\]= \[2\left( {{c^2} + 9c - 10} \right)\]
= \[2\left( {c - 1} \right)\left( {c + 10} \right) \le 0\] (vì \[\left( {c - 1} \right) \le 0\,;\left( {c + 10} \right)\, > \,0\] nên \[\left( {c - 1} \right)\left( {c + 10} \right) \le 0\])
Suy ra \[{b^2} + {c^2} + 34bc - 24b + \,8c - 20 \le 0\] hay \[{a^2}\, + {b^2} + c{\,^2}\, \le \,\,\frac{9}{4}\].