Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 2,(12) = 2,121212... thành phân số.

Ta có: 2,(12) = 2+0,(12);

\(\begin{array}{*{20}{l}}{0,(12)}&{ = 0,12121212 \ldots = 0,12 + 0,0012 + 0,000012 + 0,00000012 \ldots }\\{}&{ = 0,12 + 0,12 \cdot \frac{1}{{100}} + 0,12 \cdot \frac{1}{{{{100}^2}}} + 0,12 \cdot \frac{1}{{{{100}^3}}} + 0,12 \cdot \frac{1}{{{{100}^4}}} \ldots }\end{array}\)

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 0,12 và công bội bằng \(\frac{1}{{100}}\). Tổng này bằng \(0,12 \cdot \frac{1}{{1 - \frac{1}{{100}}}} = \frac{{12}}{{99}} = \frac{4}{{33}}\).

Vậy \(2,(12) = 2 + \frac{4}{{33}} = \frac{{70}}{{33}}\).