Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A(1; 0; 1), B(5; 2; 3) và vuông góc với mặt phẳng (β): 2x – y + z – 7 = 0.

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 1;1} \right)\).

Mặt phẳng (α) nhận \(\overrightarrow {AB} = \left( {4;2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_\beta }} = \left( {2; - 1;1} \right)\) làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (α) có một vectơ pháp tuyến là

\(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \frac{1}{4}\left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {{n_\beta }} } \right] = \frac{1}{4}\left( {2.1 + 1.2;2.2 - 1.4;4.\left( { - 1} \right) - 2.2} \right) = \left( {1;0; - 2} \right)\).

Mặt phẳng (α) đi qua điểm A(1; 0; 1) và nhận \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;0; - 2} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là x – 1 – 2(z – 1) = 0 Û x – 2z + 1 = 0.