Viết khai triển nhị thức Newton của (3x – 2)n, biết n là số tự nhiên thoả mãn An^2 + 2Cn^1 = 30

Hướng dẫn giải

Ta có: \(A_n^2 + 2C_n^1 = 30\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 2.\frac{{n!}}{{1!.\left( {n - 1} \right)!}} = 30\)

\( \Leftrightarrow \frac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{\left( {n - 2} \right)!}} + 2\frac{{n\left( {n - 1} \right)!}}{{\left( {n - 1} \right)!}} = 30\)

⇔ n(n – 1) + 2n = 30

⇔ n² + n – 30 = 0

⇔ n = 5 (thỏa mãn) hoặc n = – 6 (loại).

Vậy n = 5.

Khi đó ta có: (3x – 2)ⁿ = (3x – 2)⁵ = [3x + (– 2)⁵]

= \(C_5^0.{\left( {3x} \right)^5} + C_5^1.{\left( {3x} \right)^4}.\left( { - 2} \right) + C_5^2.{\left( {3x} \right)^3}.{\left( { - 2} \right)^2}\)

\( + C_5^3.{\left( {3x} \right)^2}.{\left( { - 2} \right)^3} + C_5^4.{\left( {3x} \right)^1}.{\left( { - 2} \right)^4} + C_5^5.{\left( { - 2} \right)^5}\)

= 243x⁵ – 810x⁴ + 1 080x³ – 720x² + 240x – 32.