Viết các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau đây dưới dạng phân số. a) 1,(01); b) 5,(132).

Lời giải:

a) Ta có: 1,(01) = 1,010101... = 1 + 0,01 + 0,0001 + 0,000001 + ...

= 10⁰ + 10^-2 + 10^-4 + 10^-6 + ...

Đây là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 10⁰ = 1 và q = 10^-2 nên

1,(01) = \(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{1}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{{100}}{{99}}\).

b) Ta có: 5,(132) = 5,132132132... = 5 + 0,132 + 0,000132 + 0,000000132 + ...

= 5 + 0,132 + 0,132 . 10^-3 + 0,132 . 10^-6 + ...

Vì 0,132 + 0,132 . 10^-3 + 0,132 . 10^-6 + ... là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với u₁ = 0,132 và q = 10^-3 nên

0,132 + 0,132 . 10^-3 + 0,132 . 10^-6 + ... = \(\frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = \frac{{0,132}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{44}}{{333}}\).

Do đó 5,(132) = 5 + \(\frac{{44}}{{333}}\) = \(\frac{{1709}}{{333}}\).