Vẽ một hình tròn bán kính R như Hình 3a. Tiếp theo, vẽ hai hình tròn bán kính r/2
38/38
Vẽ một hình tròn bán kính R như Hình 3a. Tiếp theo, vẽ hai hình tròn bán kính \[\frac{R}{2}\] tiếp xúc nhau và tiếp xúc với hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, vẽ bốn hình tròn bán kính \[\frac{R}{4}\] tiếp xúc nhau như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn?
Diện tích của các đường tròn trong các lần vẽ là
Lần thứ nhất là : \({S_1} = \pi {R^2}\)
Lần thứ hai là : \({S_2} = 2\pi {\left( {\frac{R}{2}} \right)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{2}\)
Lần thứ ba là : \({S_3} = 4\pi {\left( {\frac{R}{4}} \right)^2} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^2}}}\)
Lần thứ nhất là : \({S_n} = \frac{{\pi {R^2}}}{{{2^{n - 1}}}}\)
Do đó diện tích các hình tròn lập thành một cấp số nhân lùi vô hạn có số
hạng đầu \({S_1} = \pi {R^2}\)và công bội \(q = \frac{1}{2}\)nên tổng diện tích các hình tròn là
\({S_1} + {S_2} + {S_3} + ...\;\;\; = \frac{{\pi {R^2}}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 2\pi {R^2}\).