Vào lúc 6 giờ sáng, một tàu đánh cá xuất phát từ cảng A, đi theo hướng N70∘E với vận tốc 50km/h. Lúc 8 giờ sáng, một tàu du lịch cũng xuất phát từ cảng A, đi theo hướng N30∘W với vận tốc 70km

Ta chọn hệ trục tọa độ hoặc phân tích bằng sơ đồ vectơ hình học với gốc tại cảng \(A\). Hướng Bắc ứng với tia \(Ay\) thẳng đứng hướng lên.

Tàu du lịch (gọi là vị trí \(M\) lúc 11 giờ):

Thời gian di chuyển từ 8 giờ đến 11 giờ là: \(11 - 8 = 3\) (giờ).

Quãng đường tàu du lịch đi được: \(AM = 70 \cdot 3 = 210{\rm{\;km}}\).

Hướng di chuyển: \(N{30^ \circ }W\) (tức lệch sang hướng Tây \({30^ \circ }\) so với hướng Bắc). Góc giữa \(AM\) và tia Bắc \(Ay\) là \({30^ \circ }\).

Tàu đánh cá (gọi là vị trí \(N\) lúc 11 giờ):

Giai đoạn 1 (từ 6 giờ đến 9 giờ - sau 3 giờ): Tàu đi từ \(A\) đến điểm chuyển hướng \(K\) theo hướng \(N{70^ \circ }E\) (lệch sang hướng Đông \({70^ \circ }\) so với hướng Bắc).

Quãng đường giai đoạn 1: \(AK = 50 \cdot 3 = 150{\rm{\;km}}\).

Giai đoạn 2 (từ 9 giờ đến 11 giờ - thời gian là 2 giờ): Từ \(K\), tàu chuyển hoàn toàn sang hướng Bắc với vận tốc \(40{\rm{\;km/h}}\).

Quãng đường: \(KN = 40 \cdot 2 = 80{\rm{\;km}}\) (Vectơ \(\overrightarrow {KN} \) song song và cùng hướng với tia Bắc \(Ay\)).

Tính khoảng cách \(MN\) giữa hai tàu lúc 11 giờ bằng phương pháp tọa độ hóa hoặc vectơ:

Chọn hệ trục tọa độ cụ thể sao cho gốc tọa độ tại cảng \(A\left( {0;0} \right)\), trục \(Oy\) hướng thẳng về phía Bắc, trục \(Ox\) hướng về phía Đông.

Tọa độ điểm \(M\) (Tàu du lịch): Do nằm ở góc phần tư thứ II (hướng Tây - Bắc), góc với trục \(Oy\) là \({30^ \circ }\):

\({x_M} = - 210 \cdot {\rm{sin}}{30^ \circ } = - 105\)

\({y_M} = 210 \cdot {\rm{cos}}{30^ \circ } = 105\sqrt 3 \approx 181,87\)

Tọa độ điểm \(K\): Nằm ở góc phần tư thứ I (hướng Đông - Bắc), góc với trục \(Oy\) là \({70^ \circ }\):

\({x_K} = 150 \cdot {\rm{sin}}{70^ \circ } \approx 150 \cdot 0,9397 = 140,95\)

\({y_K} = 150 \cdot {\rm{cos}}{70^ \circ } \approx 150 \cdot 0,3420 = 51,30\)

Tọa độ điểm \(N\) (Tàu đánh cá lúc 11 giờ): Đi thẳng lên phía Bắc từ \(K\) thêm một đoạn \(80{\rm{\;km}}\):

\({x_N} = {x_K} = 140,95\)

\({y_N} = {y_K} + 80 = 51,30 + 80 = 131,30\)

Tính khoảng cách \(MN\):

\(MN = \sqrt {{{\left( {{x_N} - {x_M}} \right)}^2} + {{\left( {{y_N} - {y_M}} \right)}^2}} \)

\(MN = \sqrt {{{\left( {140,95 - \left( { - 105} \right)} \right)}^2} + {{\left( {131,30 - 181,87} \right)}^2}} \)

\(MN = \sqrt {{{\left( {245,95} \right)}^2} + {{\left( { - 50,57} \right)}^2}} = \sqrt {60491,4 + 2557,3} = \sqrt {63048,7} \approx 251,09{\rm{\;km}}\)

Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị ta được \(251{\rm{\;km}}\).

Đáp số: 251