Vận tốc v(t) (tính bằng centimet / giây) của một con lắc đơn theo thời gian t được cho bởi công thức:
13/22
Vận tốc \(v\left( t \right)\) (tính bằng centimet / giây) của một con lắc đơn theo thời gian t được cho bởi công thức: \(v\left( t \right) = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\). Xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:
[NB] Tại thời điểm \(t = 0\), vận tốc của con lắc đơn là \(v\left( 0 \right) = 1\).
[TH] Đạo hàm của \(v\left( t \right)\)là \(v'\left( t \right) = - 4\cos \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\)
[TH] Phương trình \(v'\left( t \right) = 0\) có nghiệm duy nhất trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\)
[VD] Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, con lắc đơn có 4 lần đạt vận tốc lớn nhất.
a) Đúng
Tại thời điểm \(t = 0\), vận tốc của con lắc đơn là \(v\left( 0 \right) = 2\sin \left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 1\). Đáp án a Đúng.
b) Sai
Đạo hàm của \(v\left( t \right)\)là \(v'\left( t \right) = 4\cos \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right)\). Đáp án b Sai.
c) Đúng.
Phương trình \(v'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow 4\cos \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) = 0 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{2} \Rightarrow \) phương trình có nghiệm duy nhất trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) là \(\frac{\pi }{6}\). Đáp án c Đúng.
d) Đúng.
Trong khoảng thời gian từ 0 đến 10 giây, con lắc đơn có 4 lần đạt vận tốc lớn nhất.
Ta có: \(v\left( t \right) = 2\sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow - 2 \le v\left( t \right) \le 2\) với mọi t
Suy ra: \(v{\left( t \right)_{\max }} = 2 \Leftrightarrow \sin \left( {2t + \frac{\pi }{6}} \right) = 1 \Leftrightarrow t = \frac{\pi }{6} + k\pi \)
Do \(0 \le t \le 10 \Rightarrow t \in \left\{ {\frac{\pi }{6};\frac{{7\pi }}{6};\frac{{11\pi }}{6};\frac{{17\pi }}{6}} \right\}\). Vậy có 4 giá trị. Đáp án d Đúng.