Từ một tấm tôn có hình dạng là nửa hình tròn bán kính R = 5, người ta muốn cắt ra một hình chữ nhật. Diện tích lớn nhất có thể của tấm tôn hình chữ nhật là bao nhiêu?

Đăt \(OA = x \Rightarrow AB = 2x\) (\(0 < x < 5\)).

\( \Rightarrow AD = \sqrt {O{D^2} - O{A^2}}  = \sqrt {25 - {x^2}} \).

Diện tích hình chữ nhật \(ABC{\rm{D}}\) là \(S = AB.AD = 2x\sqrt {25 - {x^2}} \).

Xét hàm số: \(f\left( x \right) = 2x\sqrt {25 - {x^2}} \) trên \(\left( {0;5} \right)\), ta có

\(f'\left( x \right) = 2\sqrt {25 - {x^2}}  - \frac{{2{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }}\).

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{50 - 4{x^2}}}{{\sqrt {25 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow 50 - 4{x^2} = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2} \in (0;5)}\\{x = \frac{{ - 5\sqrt 2 }}{2} \notin (0;5)}\end{array}} \right.\).

Bảng biến thiên

Vậy diện tích lớn nhất của tấm nhôm hình chữa nhật là \(S = 25\) khi \(x = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).