Từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 8 dm, người ta cắt bỏ bốn tứ giác bằng nhau (cùng bằng tứ giác AMNP ) ở bốn góc của tấm nhôm đó, biết AM = AP = 1 dm và điểm N thuộc đường chéo A

19/22

Từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 8 dm, người ta cắt bỏ bốn tứ giác bằng nhau (cùng bằng tứ giác \(AMNP\)) ở bốn góc của tấm nhôm đó, biết \[AM = AP = 1\,dm\] và điểm \(N\) thuộc đường chéo \(AC\). Với phần còn lại của tấm nhôm sau khi đã cắt bỏ đi 4 tứ giác nói trên, người ta đã gập các đoạn \(MN\)trùng với \(PN\)rồi dán kĩ bằng keo, làm tương tự cho 3 cặp đoạn còn lại, người ta thu được chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều. Sức chứa lớn nhất của chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều này là bao nhiêu lít (làm tròn đến hàng đơn vị, bỏ qua độ dày tấm nhôm)?

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 44

Từ bảng biến thiên ta thấy sức chứa lớn nh (ảnh 1)

Gọi độ dài đoạn \(AN = x\,\left( {dm} \right)\)(ĐK: \(0 < x < 4\sqrt 2 \)). Xét mặt cắt của chậu qua đường chéo là hình thang cân \(MNQF\) (như hình vẽ). Kẻ \(NH \bot MF,\left( {H \in MF} \right)\).

Ta có tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng 8 dm nên ta có đường chéo \(AC = 8\sqrt 2 \,\left( {dm} \right)\), suy ra độ dài đường chéo đáy chậu là \(NQ = 8\sqrt 2 - 2x\,\left( {dm} \right)\).

Ta có cạnh hình vuông sau khi cắt các góc là \(6\left( {dm} \right)\), suy ra đường chéo miệng chậu \(MF = 6\sqrt {2\,} \,\left( {dm} \right)\).

Suy ra \(MH = \frac{{MF - NQ}}{2} = x - \sqrt 2 \,\left( {dm} \right)\).

Từ bảng biến thiên ta thấy sức chứa lớn nh (ảnh 2)

Xét \(\Delta AMN\)có:

\(M{N^2} = A{M^2} + A{N^2} - 2.AM.AN.\cos MAN = {1^2} + {x^2} - 2.1.x.\cos 45^\circ = {x^2} - x\sqrt 2 + 1\).

X ét \(\Delta MNH\) vuông tại \(H\) có:

\(NH = \sqrt {M{N^2} - M{H^2}} = \sqrt {{x^2} - x\sqrt 2 + 1 - {{\left( {x - \sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt {x\sqrt 2 - 1} \left( {dm} \right)\).

Ta có thể tích chậu được tính bằng công thức:

\(\begin{array}{l}V = \frac{1}{3}h.\left( {{S_1} + {S_2} + \sqrt {{S_1}.{S_2}} } \right) = \frac{1}{3}\sqrt {x\sqrt 2 - 1} .\left( {\frac{1}{2}N{Q^2} + \frac{1}{2}M{F^2} + \sqrt {\frac{1}{2}N{Q^2}.\frac{1}{2}M{F^2}} } \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\sqrt {x\sqrt 2 - 1} .\left( {\frac{1}{2}{{\left( {8\sqrt 2 - 2x} \right)}^2} + \frac{1}{2}{{\left( {6\sqrt 2 } \right)}^2} + \frac{1}{2}\left( {8\sqrt 2 - 2x} \right).\left( {6\sqrt 2 } \right)} \right)\\\,\,\,\,\, = \frac{1}{3}\sqrt {x\sqrt 2 - 1} .\left( {2{x^2} - 22\sqrt 2 x + 148} \right)\end{array}\)

Ta có: \(V' = \frac{{10\sqrt 2 {x^2} - 140x + 192\sqrt 2 }}{{6\sqrt {x\sqrt 2 - 1} .}}\); \(V' = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{\sqrt {530} + 35\sqrt 2 }}{{10}}\,\left( {KTM} \right)\\x = \frac{{ - \sqrt {530} + 35\sqrt 2 }}{{10}}\,\left( {TM} \right)\end{array} \right.\).

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy sức chứa lớn nh (ảnh 3)

Từ bảng biến thiên ta thấy sức chứa lớn nhất của chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều này xấp xỉ 44 lít.