Từ một điểm trên đường tròn ngoại tiếp của một tam giác bất kì hạ các đường vuông góc xuống ba cạnh của tam giác ABC nội tiếp đường tròn

Cách giải 1:
Vì D^=E^=90∘=> tứ giác BDPE là tứ giác nội tiếp
⇒BED^=BPD^ (*)(Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
F^=E^=90∘ => tứ giác EFCP cũng là tứ giác nội tiếp
⇒FEC^=FPC^ (**) (Góc nội tiếp cùng chắn một cung)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn ⇒BPC^=π-A^(1)
PD⊥ABPF⊥AC⇒DPF^=π-A^ (2)
Từ (1) và (2) ⇒BPC^=DPF^
⇒BPD^=FPC^ (***)
Từ (*) ; (**) và (***)
= D ; E ; F thẳng hàng.
Cách giải 2:
PE⊥ECPF⊥FC⇒Tứ giác EFCP là tứ giác nội tiếp ⇒FEP^+PCF^=180∘ (1)
Vì tứ giác ABPC nội tiếp đường tròn ⇒ABP^+FCP^=180∘
Mà ABP^+BDP^=180∘⇒FCP^=DBP^ (2)
PD⊥BDPE⊥BC⇒Tứ giác EPDB là tứ giác nội tiếp => DBP^=DEP^( 3)
Từ (1) ; (2) và (3) ta có : PEF^+DEP^=180∘
Suy ra ba điểm D ; E ; F thẳng hàng