Tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), đồng thời nội tiếp một đường tròn khác

Gọi \[I,K,M\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( O \right)\] trên các cạnh \[BC,AB,AD\] và \[r\] là bán kính đường tròn \[\left( O \right)\].

Đặt \[CH = CI = x,{\rm{ }}DH = DM = y,{\rm{ }}AM = AK = z,{\rm{ }}BI = BK = t\].

Do tứ giác \[ABCD\] ngoại tiếp đường tròn \[\left( O \right)\] nên:

            \[AB + CD = AD + BC \Rightarrow AD = AB + CD - BC = 14 + 26 - 18 = 22{\rm{ cm}}\].

Lại có tứ giác \[ABCD\] là tứ giác nội tiếp nên

            \[\widehat {ABC} + \widehat {ADC} = 180^\circ \Leftrightarrow 2\left( {\widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}}} \right) = 180^\circ \]

                                             \[ \Leftrightarrow \widehat {{B_1}} + \widehat {{D_1}} = 90^\circ \Rightarrow \widehat {{B_1}} = \widehat {HOD}\] (vì cùng phụ với góc \[\widehat {{D_1}}\]).

Ta có \[\Delta KBO \sim \Delta HOD\left( {{\rm{g}}{\rm{.g}}} \right) \Rightarrow \frac{{KB}}{{OH}} = \frac{{OK}}{{HD}} \Leftrightarrow \frac{t}{r} = \frac{r}{y} \Leftrightarrow {r^2} = yt\].

Tương tự \[{r^2} = xz\]. Do đó \[xz = yt\]. Suy ra \[\frac{x}{y} = \frac{t}{z} = \frac{{18 - x}}{{22 - y}} = \frac{{18}}{{22}}\].

Từ đó ta tính được \[11x = 9y\]. Suy ra \[x = 11,7\] và \[y = 14,3\].