Tứ giác ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau. Gọi M, N, R, S lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD và AD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, R, S cùng thuộc một đường tròn.

Ta có \({\rm{MN}}\) là đường trung bình của \(\Delta {\rm{ABC}}\)\( \Rightarrow {\rm{MN}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC v\`a  MN}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}\)\(\)

tương tự \({\rm{SR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{AC}}\) và \({\rm{SR}} = \frac{{{\rm{AC}}}}{2}\)

Do đó MNRS là hình bình hành

Mặt khác \({\rm{BD}} \bot {\rm{AC}}({\rm{gt}}) \Rightarrow {\rm{MN}} \bot {\rm{BD}}\)

Ta còn có \({\rm{MS}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{NR}}\,\,{\rm{//}}\,\,{\rm{BD}}\)

Do đó MN \( \bot {\rm{MS}}\) hay MNRS là hình chữ nhật

\( \Rightarrow 4\) điểm \({\rm{M}},\,\,{\rm{N}},\,\,{\rm{R}},\,\,{\rm{S}}\) cùng thuộc đường tròn tâm \({\rm{O}}\) là giao điểm của hai đường chéo \({\rm{MR}}\) và

NS bán kính \(\frac{{{\rm{MR}}}}{2}\).