Tứ giác A E M F là hình gì? Vì sao?
![Cho hình vuông \[ABCD.\] Lấy điểm \[M\] thuộc đường chéo \[BD.\] Kẻ \[ME\] vuông góc với \(AB\) tại \[E,{\rm{ }}MF\] vuông góc với \[AD\] tại \[F.\] (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/09/28-1758293690.png)
a) Do \[ME \bot AB\] tại \(E\) nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ .\)
Do \[MF \bot AD\] tại \(F\) nên\(\widehat {MFA} = 90^\circ .\)
Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(\widehat {EAF} = 90^\circ .\)
Tứ giác \[AEMF\] có \(\widehat {MFA} = \widehat {EAF} = \widehat {AEM} = 90^\circ \) nên\[AEMF\] là hình chữ nhật.
b) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(BD\) là đường phân giác của góc \(\widehat {ABC}\)
Do đó \(\widehat {ABD} = 45^\circ \) suy ra \(\Delta BEM\) vuông cân tại \(E,\) nên \(BE = ME.\)
Do \[AEMF\] là hình chữ nhật nên \(ME = AF\), suy ra \(BE = AF.\)
Chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] là:\[2\left( {AE + AF} \right) = 2\left( {AE + BE} \right) = 2AB.\]
Mà \(AB\) không đổi nên chu vi của hình chữ nhật \[AEMF\] không đổi.
Do đó, diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất khi \[AEMF\] là hình vuông.
Suy ra \[ME = MF.\]
Khi đó \[\Delta BEM = \Delta DFM\] (cạnh góc vuông – góc nhọn kề).
Suy ra \[BM = DM\] hay \[M\] là trung điểm của \[BC.\,\]
Vậy với \[M\] là trung điểm của \[BC\] thì diện tích của tứ giác \[AEMF\] lớn nhất.