Từ định nghĩa xác suất có điều kiện và định nghĩa về tính độc lập của hai biến cố, hãy chứng tỏ rằng nếu A và B là hai biến cố độc lập thì P(A|B) = P(A) và P(B|A) = P(B).

Theo định nghĩa, \(P(A\mid B)\) là xác suất của \(A\), tính trong điều kiện biết rằng biến cố \(B\) đã xảy ra. Vì \(A\), \(B\) độc lập nên việc xảy ra \(B\) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(A\). Do đó:

\(P(A\mid B) = P(A){\rm{. }}\)

Tương tự \(P(B\mid A)\) là xác suất của \(B\), tính trong điều kiện biết rằng biến cố \(A\) đã xảy ra. Vì \(A\), \(B\) độc lập nên việc xảy ra \(A\) không ảnh hưởng tới xác suất xuất hiện của \(B\). Do đó:

\(P(B\mid A) = P(B){\rm{. }}\)