Từ định nghĩa cổ điển của xác suất, hãy chứng minh các nhận xét trên.

Hướng dẫn giải

+ Nhận xét 1: Với mỗi biến cố E, ta có 0 ≤ P(E) ≤ 1.  

Vì E là tập con của không gian mẫu Ω nên n(E) ≤ n(Ω), suy ra \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} \le 1\).

Do n(E) ≥ 0, n(Ω) > 0 nên \(P\left( E \right) = \frac{{n\left( E \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} \ge 0\).

Vậy 0 ≤ P(E) ≤ 1.

+ Nhận xét 2: Với biến cố chắc chắn (là tập Ω), ta có: P(Ω) = 1.

Biến cố chắc chắn là tập Ω nên \(P\left( \Omega \right) = \frac{{n\left( \Omega \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = 1\).

Vậy P(Ω) = 1.

+ Nhận xét 3: Với biến cố không thể (là tập \(\emptyset \)) , ta có \(P\left( \emptyset \right)\) = 0.

Biến cố không thể xảy ra nên \(n\left( \emptyset \right) = 0\), suy ra: \(P\left( \emptyset \right) = \frac{{n\left( \emptyset \right)}}{{n\left( \Omega \right)}} = \frac{0}{{n\left( \Omega \right)}} = 0\).

Vậy \(P\left( \emptyset \right)\) = 0.