Từ điểm$M$nằm ngoài đường tròn $(O),$kẻ hai tiếp tuyến

6/6

Từ điểm$M$nằm ngoài đường tròn $(O),$kẻ hai tiếp tuyến $MA,\,\,MB$ ($A,\,\,B$là tiếp điểm), cát tuyến $MCD$không đi qua tâm $O,$$MD > MC$. a) Chứng minh rằng $M{A^2} = MC.MD.$b)Gọi $H$ là giao điểm của $MO$ và $AB$. Chứng minh rằng tứ giác $CHOD$ nội tiếpc) Tìm vị trí của $D$ để tam giác $MAD$ có diện tích lớn nhất

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Từ điểm$M$nằm ngoài đường tròn $(O),$kẻ hai tiếp tuyến (ảnh 1)$

Xét $\Delta MAC$ và $\Delta MDA$ có

$\widehat {AMD}$ chung

$\widehat {MAC} = \widehat {MDA}$ (Cùng chắn )

Suy ra (g-g)

$ \Rightarrow \frac{{MA}}{{MD}} = \frac{{MC}}{{MA}} \Rightarrow M{A^2} = MC.MD$

Ta có: $\widehat {OAM} = {90^0}$(tính chất của tiếp tuyến)

$MA = MB$(tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) và $OA = OB$

$ \Rightarrow OM$là trung trực $AB$ hay $OM \bot AB$ tại $H$

$ \Rightarrow A{M^2} = MH.MO$(hệ thức lượng trong tam giác vuông)

$ \Rightarrow MH.MO = MC.MD\,\left( { = M{A^2}} \right)$

$\frac{{MH}}{{MC}} = \frac{{MD}}{{MO}}$ và $\widehat {DMO}$ chung

(c-g-c)

$ \Rightarrow \widehat {MDH} = \widehat {MOC}$ (hai góc tương ứng) hay $\widehat {CDH} = \widehat {HOC}$

$ \Rightarrow $ tứ giác $DOHC$ nội tiếp đường tròn

Dựng đường cao $DK$ của $\Delta MAD$. Khi đó ${S_{\Delta MAD}} = \frac{1}{2}MA.DK$

${S_{\Delta MAD}} = \frac{1}{2}MA.DK$ đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi $DK$lớn nhất ($MA$ không đổi)

Gọi $E$ là điểm đối xứng với $A$ qua $O$. Qua $D$ dựng đường thẳng song song $MA$ cắt $AE$ tại $F \Rightarrow DK = AF$

Khi $D$ di chuyển trên cung lớn $AB$ thì $F$ di chuyển trên đường kính $AE$. Suy ra $AF$ lớn nhất khi $AF$ là đường kính hay $D \equiv F \equiv E$

Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm 2023-2024 Chuyên Gia Lai có đáp án

Từ điểm\(M\)nằm ngoài đường tròn \((O),\)kẻ hai tiếp tuyến