Từ điểm P ở ngoài đường tròn (O; R) vẽ hai tiếp tuyến tiếp xúc với (O) tại A và B. Đoạn thẳng OP cắt (O) tại Q (Hình 10). Cho biết PB = 8, PQ = 4. Tính R và số đo AOB

Do PB và PA là hai tiếp tuyến của đường tròn (O) lần lượt tại B và A

Suy ra OB ⊥ BP; OA ⊥ AP

Nên ∆OBP vuông tại B; ∆OAP vuông tại A.

Xét ∆OPB vuông tại B, ta có OP² = OB² + PB² (định lí Pythagore)

Hay (OQ + QP)² = OB² + PB²

Suy ra (R + 4)² = R² + 8²

   R² + 8R + 16 = R² + 64

8R = 48

R = 6.

Do đó OP = OQ + QP = 6 + 4 = 10.

Như vậy, \(\sin \widehat {BOP} = \frac{{PB}}{{OP}} = \frac{8}{{10}} = \frac{4}{5},\) suy ra \(\widehat {BOP} \approx 53^\circ .\)

Theo bài, hai tiếp tuyến AP và BP của đường tròn (O; R) cắt nhau tại P nên OP là tia phân giác của góc AOB.

Khi đó, \(\widehat {AOB} = 2\widehat {BOP} \approx 2 \cdot 53^\circ = 106^\circ .\)