Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). 5.3.1. Chứng minh bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.

9/12

Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $\left( O \right)$ vẽ hai tiếp tuyến $AB,AC$ với đường tròn $(B,C$ là các tiếp điểm).

1. Chứng minh bốn điểm $A,B,O,C$ cùng thuộc một đường tròn.

2. Vẽ đường kính $BD$ của đường tròn $\left( O \right)$. Qua điểm $O,$ kẻ đường thẳng vuông góc với $AD$ tại $I$ và cắt đường thẳng $BC$ tại điểm $E.$ Chứng minh $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right).$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Nên $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$. (ảnh 1)$

Vì $AB,\,\,AC$ là các tiếp tuyến của $\left( O \right)$ tại $B,\,\,C$ nên $AB \bot BO$ và $AC \bot CO$.

$\Delta ABO$ vuông tại $B$ nên $\Delta ABO$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.

$\Delta ACO$ vuông tại $C$ nên $\Delta ACO$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.

Nên bốn điểm $A,\,\,B,\,\,O,\,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AO$.

$Nên $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$. (ảnh 2)$

Kẻ $OA$ cắt $BC$ tại $H$.

Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau ta có: $AB = AC$.

Mà $OB = OC$ nên $OA$ là đường trung trực của $BC$ hay $OA \bot BC$ tại trung điểm $H$ của $BC$.

Xét $\Delta OHC$ và $\Delta OCA$ có: $\widehat {OHC} = \widehat {OCA} = 90^\circ $ và $\widehat {AOC}$ là góc chung.

Suy ra $Δ O H C ∽ Δ O C A$ (g.g).

Do đó, $\frac{{OH}}{{OC}} = \frac{{OC}}{{OA}}$ hay $OH \cdot OA = O{C^2}$.

Chứng minh tương tự ta cũng có $Δ O H E ∽ Δ O I A$ (g.g).

Do đó, $\frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OE}}{{OA}}$ hay $OH \cdot OA = OE \cdot OI.$

Mà $OC = OD$ nên $OE \cdot OI = OH \cdot OA = O{C^2} = O{D^2}$.

Xét $\Delta OID$ và $\Delta ODE$ có: $\frac{{OI}}{{OD}} = \frac{{OD}}{{OE}}$ và $\widehat {DOE}$ là góc chung.

Suy ra $Δ O I D ∽ Δ O D E$ (c.g.c). Do đó, $\widehat {ODE} = \widehat {OID} = 90^\circ $ hay $OD \bot DE$.

Nên $ED$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$.