Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O). Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là hai tiếp điểm). Từ điểm K nằm trên cung BC (K, A nằm cùng phía BC) dựng tiếp tuyến cắt AB, AC tại M, N. BC cắt OM, ON tại

Lời giải

Vì AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên \(\widehat {ABO} = \widehat {AC{\rm{O}}} = 90^\circ \).

Vì MN là tiếp tuyến của (O) tại tiếp điểm K nên \(\widehat {OKM} = 90^\circ \).

Xét tứ giác MBOK có: \(\widehat {OBM} = \widehat {OKM} = 90^\circ \), mà hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác

Þ tứ giác MBOK nội tiếp.

\( \Rightarrow \widehat {MKB} = \widehat {MOB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB). (1)

Ta có: NK, NC là hai tiếp tuyến của (O) cắt nhau tại N

Þ NK = NC và NQ là tia phân giác của \(\widehat {KNC}\)

Từ đó DNKQ = DNCQ (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {NKQ} = \widehat {NCQ}\) (hai góc tương ứng)

Lại có \(\widehat {NCQ} = \widehat {ACB} = \widehat {ABC}\) (do DABC cân tại A vì AB = AC)

\( \Rightarrow \widehat {NKQ} = \widehat {ABC}\) hay \(\widehat {NKQ} = \widehat {MBQ}\).

Mà \(\widehat {NKQ} + \widehat {MKQ} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {MBQ} + \widehat {MKQ} = 180^\circ \)

Xét tứ giác MBQK có: \(\widehat {MBQ} + \widehat {MKQ} = 180^\circ \) và hai góc này ở vị trí đối nhau trong tứ giác

Þ tứ giác MBQK nội tiếp

\( \Rightarrow \widehat {MKB} = \widehat {MQB}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\widehat {MQB} = \widehat {MOB}\).

Þ tứ giác MBOQ nội tiếp.

Chứng minh tương tự ta cũng có: tứ giác NCOP là tứ giác nội tiếp.