Từ điểm A nằm ngoài đường tròn (O) vẽ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) với M, N là các tiếp điểm. Qua A kẻ đường thẳng cắt đường tròn (O) tại hai điểm B và C (B nằm giữa A và C, tia A

7/9

Từ điểm $A$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ vẽ các tiếp tuyến \[AM,\,\,AN\], với đường tròn $(O)$ với\[M,\,\,N\] là các tiếp điểm. Qua $A$ kẻ đường thẳng cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $B$ và $C$ ($B$ nằm giữa $A$ và $C$, tia $AC$ nằm giữa tia $AO$ và $AM$). Đường thẳng $AO$ cắt $MN$ tại $H$ và cắt đường tròn $(O)$ tại các điểm $P$ và $Q$ ($P$ nằm giữa $A$ và $O$).

a) Chứng minh tứ giác $ANOM$ nội tiếp.

b) Chứng minh $H$là trung điểm của $MN$ và$AH.AO = AB.AC$.

c) Gọi $D$ là trung điểm của $HQ$, từ $H$ kẻ đường thẳng $HJ$ vuông góc với $MD$ $\left( {J \in MD} \right)$ và cắt đường thẳng $MP$ tại $E$. Chứng minh hai tam giác $EMH$ và $MQD$ đồng dạng và $P$ là trung điểm của $ME$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Vậy cần phải đổ ít nhất $51$ lần thì đầy bể chứa. (ảnh 1)$

a) Chứng minh tứ giác $ANOM$ nội tiếp.

• Vì \[AM\] là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $M$ nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: $AM \bot OM$, suy ra $\widehat {AMO} = 90^\circ $ hay $\Delta AMO$ vuông tại $M$

Suy ra các điểm $A,\,\,M,\,\,O$ thuộc đường tròn đường kính $OA$ $\left( 1 \right)$

• Vì \[AN\] là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ tại $N$ nên theo tính chất tiếp tuyến, ta có: $AN \bot ON$,suy ra $\widehat {ANO} = 90^\circ $ , hay $\Delta ANO$ vuông tại $N$

Suy ra các điểm $A,\,\,N,\,\,O$ thuộc đường tròn đường kính $OA$ $\left( 2 \right)$

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right)$ ta có các điểm $A$, $M$,$N$, $O$ thuộc đường tròn đường kính $OA$ hay tứ giác $ANOM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OA$.

b) Chứng minh $H$là trung điểm của $MN$ và $AH.AO = AB.AC$.

* Chứng minh $H$là trung điểm của $MN$.

Vì $AM$, $AN$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $\left( O \right)$, cắt nhau tại $A$, nên

$AM = AN$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

$OM = ON$ (bán kính đường tròn tâm $O$).

Suy ra \[AO\] là đường trung trực của đoạn thẳng $MN$.

Suy ra $AO \bot MN$ tại $H$

Suy ra $H$là trung điểm của $MN$.

* Chứng minh $AH.AO = AB.AC$.

Kẻ đường kính $MK$ của đường tròn $(O)$.

Ta có $\widehat {MCK} = 90^\circ $ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra $\widehat {ACM} + \widehat {BCK} = 90^\circ \,\,\,\,\,\,\,\left( 1 \right)$

mà $\widehat {AMB} + \widehat {BMK} = 90^\circ \;\;\;\;\;\;\left( 2 \right)$

Mặt khác, $\widehat {BCK} = \widehat {BMK}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung $BK$). \[\left( 3 \right)\]

Từ $\,\left( 1 \right)$,$\;\left( 2 \right)$ và \[\left( 3 \right)\] suy ra: $\widehat {AMB} = \widehat {ACM}$

Xét $\Delta AMB$ và $\Delta ACM$ có:

$\widehat {MAC}$ chung; $\widehat {AMB} = \widehat {ACM}$ (cmt)

Suy ra $Δ A M B ∽ Δ A C M$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AB}}{{AM}}$ (cạnh tương ứng)

Suy ra $A{M^2} = AB.AC$ \[(4)\]

Xét $\Delta AMH$ và $\Delta AOM$ có:

$\widehat {MAO}$ chung; $\widehat {AHM} = \widehat {AMO} = 90^\circ $

Suy ra $Δ A M H ∽ Δ A O M$ (g.g)

Suy ra $\frac{{AM}}{{AO}} = \frac{{AH}}{{AM}}$ (cạnh tương ứng) nên $A{M^2} = AH.AO$ \[(5)\]

Từ \[(4)\] và \[(5)\] ta có: $AH.AO = AB.AC$

c) Chứng minh hai tam giác $EMH$ và $MQD$ đồng dạng và $P$ là trung điểm của $ME$.

* Chứng minh hai tam giác $EMH$ và $MQD$ đồng dạng

Ta có $\widehat {PMQ} = 90^\circ $(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên $\widehat {QMD} + \widehat {DME} = 90^\circ $

Vì $HJ \bot MD$ (gt) nên $\Delta EJM$ vuông tại $J$ suy ra $\widehat {DME} + \widehat {MEH} = 90^\circ $ nên $\widehat {QMD} = \widehat {MEH}$

Vì $\Delta MHP$ vuông tại $H$ nên $\widehat {{M_1}} + \widehat {{P_1}} = 90^\circ $

Vì $\Delta QMP$ vuông tại $M$ nên $\widehat Q + \widehat {{P_1}} = 90^\circ $ suy ra $\widehat Q = \widehat {{M_1}}$

Xét $\Delta EMH$ và $\Delta MQD$ có

$\widehat Q = \widehat {{M_1}}$ (cmt); $\widehat {QMD} = \widehat {MEH}$ (cmt)

Do đó $Δ E M H ∽ Δ M Q D$ (g.g)

* Chứng minh $P$ là trung điểm của $ME$.

Từ $Δ E M H ∽ Δ M Q D$ (cmt)

Suy ra $\frac{{EM}}{{MQ}} = \frac{{MH}}{{QD}}$ (cạnh tương ứng)

Vì $D$ là trung điểm của $HQ$ nên $QD = \frac{1}{2}HQ$ suy ra $\frac{{EM}}{{MQ}} = \frac{{MH}}{{\frac{1}{2}HQ}}$ $ = 2 \cdot \frac{{MH}}{{HQ}}$

Trong $\Delta MHQ$ vuông tại $H$, ta có $\frac{{MH}}{{HQ}} = \tan \widehat {MQH}$

Suy ra $\frac{{EM}}{{MQ}} = 2 \cdot \frac{{MH}}{{HQ}} = 2.\tan \widehat {MQH}$

Trong $\Delta MPQ$ vuông tại $P$, ta có $\tan \widehat {MQH} = \frac{{MP}}{{MQ}}$

Suy ra $\frac{{EM}}{{MQ}} = 2 \cdot \frac{{MP}}{{MQ}}$ nên $EM = 2MP$

Vậy $P$ là trung điểm của $ME$.