Trước khi đưa sản phẩm ra thị trường, người ta đã phỏng vấn ngẫu nhiên 200 khách hàng về sản phẩm đó và thấy có 50 người trả lời “sẽ mua”, 90 người trả lời “có thể sẽ mua” và 60 người trả lời

Gọi biến cố \[A\]: “Người được phỏng vấn sẽ mua sản phẩm”.

Biến cố \[{H_1}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời sẽ mua”.

Biến cố \[{H_2}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời có thể sẽ mua”.

Biến cố \[{H_3}\]: “Khách hàng được phỏng vấn trả lời không mua”.

Ta có \[P\left( {{H_1}} \right) = \frac{{50}}{{200}} = 0,25\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {{H_2}} \right) = \frac{{90}}{{200}} = 0,45\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,P\left( {{H_3}} \right) = \frac{{60}}{{200}} = 0,3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\]

\[P\left( {A|{H_1}} \right) = 0,6\,\,;\,\,\,P\left( {A|{H_2}} \right) = 0,4\,;\,\,P\left( {A|{H_3}} \right) = 0,1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\]

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có tiềm năng của sản phẩm đó trên thị trường là

\(\begin{array}{l}P\left( A \right) = P\left( {{H_1}} \right).P\left( {A|{H_1}} \right) + P\left( {{H_2}} \right).P\left( {A|{H_2}} \right) + P\left( {{H_3}} \right).P\left( {A|{H_3}} \right)\\ = 0,25.0,6 + 0,45.0,4 + 0,3.0,1 = 0,36.\end{array}\)

Theo công thức Bayes, ta có xác suất khách hàng trả lời “sẽ mua” là

\(P\left( {{H_1}|A} \right) = \frac{{P\left( {{H_1}} \right).P\left( {A|{H_1}} \right)}}{{P\left( A \right)}} = \frac{{0,25.0,6}}{{0,36}} = \frac{5}{{12}}.\)

Suy ra \[a = 5,\,b = 12.\]Vậy \[T = a + \frac{1}{2}b = 5 + \frac{1}{2}.12 = 11.\]

Đáp án: 11.