Trong trường hợp hình tròn ( C ) có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục).
31/34
Người ta lát gạch trang trí một mảnh sân hình chữ nhật có kích thước \[14{\rm{m}} \times 12{\rm{m}}\] như hình vẽ dưới, trong đó \[\left( {{P_1}} \right),\,\,\left( {{P_2}} \right)\] là hai parabol đối xứng trục với nhau qua trục đối xứng vuông góc với chiều dài của mảnh sân, \[\left( C \right)\] là đường tròn có tâm trùng với tâm của mảnh sân và lần lượt có duy nhất một điểm chung với các parabol đó (tham khảo hình vẽ biết phần gạch đậm là phần lát gạch). Chi phí cho phần lát gạch là \[240\] nghìn đồng một mét vuông. Trong trường hợp hình tròn \[\left( C \right)\] có diện tích lớn nhất thì chi phí lát gạch là bao nhiêu triệu đồng? (kết quả làm tròn tới hàng phần chục).
Đáp án: 12,4.
Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) như hình vẽ với \(M\left( {0\,;\,m} \right)\,\,\left( {m < 0} \right)\) là đỉnh của parabol \(\left( {{P_1}} \right)\).
Khi đó \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{{7 - m}}{{36}}{x^2} + m\) và \(\left( C \right):{x^2} + {y^2} = {m^2}.\)
Để \(\left( {{P_1}} \right),\,\,\left( C \right)\) có một điểm chung duy nhất thì phương trình sau có nghiệm duy nhất.
\({x^2} + {\left( {\frac{{7 - m}}{{36}}{x^2} + m} \right)^2} = {m^2} \Leftrightarrow {x^2}\left[ {{{\left( {\frac{{7 - m}}{{36}}} \right)}^2}{x^2} + \frac{{ - {m^2} + 7m + 18}}{{18}}} \right] = 0\).
\({\rm{YCBT}} \Leftrightarrow - {m^2} + 7m + 18 \ge 0 \Leftrightarrow - 2 \le m \le 9\). Mà \(m < 0\) nên \( - 2 \le m < 0\).
Khi đó, đường tròn \(\left( C \right)\) có diện tích lớn nhất khi \(\left( C \right)\) có bán kính lớn nhất, điều này xảy ra khi và chỉ khi \(m = - 2 \Rightarrow r = 2.\)
Hoành độ giao điểm của \(\left( {{P_1}} \right):y = \frac{1}{4}{x^2} - 2\) và trục hoành là \(x = \pm 2\sqrt 2 \).
Diện tích phần lát gạch là \(S = 4\int\limits_{2\sqrt 2 }^6 {\left( {\frac{1}{4}{x^2} - 2} \right){\rm{d}}x} + \pi {r^2} = \frac{{72 + 32\sqrt 2 }}{3} + 4\pi \).
Số tiền lát gạch là: \(240S \approx 12396,32\) (nghìn đồng) \( \approx 12,4\) (triệu đồng).