Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 1)

Trường hợp 1: A''C'' không đi qua X (X=AC∩A'C')

Kí hiệu Y=A''C''∩A'C';Z=A''C''∩AC; ta gọi:

B''=A''C''∩AC'. Ta cần chứng minh: A',B'',C' thẳng hàng.

Xét tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thảng hàng A',B'',C'.

A',B'',C' thẳng hàng ⇔A'XA'Y.B''YB''Z.CZCX=1 (1)

Xét tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng A',A'',B, ta có:

A'XA'Y.A''YA''Z.BZBX=1 (2)

Tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng B',C,C'', ta có:

CZCX.B'XB'Y.C''YC''Z=1 (3)

Tam giác XYZ với đường thẳng đi qua ba điểm thẳng hàng A,B'',C', ta có;

AZAX.B''YB''Z.C'XC'Y=1 (4)

Do A,A'',B' thẳng hàng nên A''YA''Z.AZAX.B'XB'Y=1 (5)

Do B,C'',C' thẳng hàng nên BZBX.C'XC'Y.C''YC''Z=1 (6)

Nhân (2), (3), (4) áp dụng (5), (6) ta suy ra (1)

Ta có điều phải chứng minh.

Trường hợp 2: A''C'' đi qua X

Bạn đọc tự xét trường hợp này.

Như vậy bản chất của cách 1 ví dụ 1 là định lí Papus. Từ cơ sở toán này, chúng ta đưa ra cách giải tổng quát hơn cách 1 trong ví dụ 1 như sau:

Cho hai bộ ba điểm thẳng hàng A, B, C; A', B', C'. Gọi giao điểm của AB' và A'B là A''; AC' và A'C là B''; (ảnh 2)

Trong một vườn cây có 9 cây. Hãy trồng thành 9 hàng, mỗi hàng có 3 cây.