Trong một trò chơi thám hiểm, anh Sơn phải vượt qua một mê cung gồm các phòng thông nhau như sơ đồ dưới đây. Tại mỗi phòng, anh Sơn tung một đồng xu cân đối và đồng chất để quyết định hướng đ
22/22
Trong một trò chơi thám hiểm, anh Sơn phải vượt qua một mê cung gồm các phòng thông nhau như sơ đồ dưới đây. Tại mỗi phòng, anh Sơn tung một đồng xu cân đối và đồng chất để quyết định hướng đi. Nếu đồng xu ra mặt sấp, anh bắt buộc phải đi qua một cửa theo phương ngang (trái hoặc phải), nếu đồng xu ra mặt ngửa thì anh Sơn bắt buộc phải đi qua một cửa theo phương dọc (trên hoặc dưới). Nếu hướng bắt buộc có nhiều hơn 1 cửa, anh sẽ chọn ngẫu nhiên 1 cửa với xác suất như nhau (Mọi phòng trong mê cung đều có ít nhất 1 cửa ngang và 1 cửa dọc). Trò chơi kết thúc ngay khi anh bước vào phòng chứa kho báu hoặc phòng có bẫy. Biết anh Sơn bắt đầu từ phòng 1, tính xác suất để anh tìm được kho báu (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Theo quy tắc thì mặt sấp đi cửa ngang (trái/phải) với xác suất \[0,5\]
Mặt ngửa đi cửa dọc (trên/dưới) với xác suất \[0,5\]
Khi đó, nếu hướng đó có 2 cửa thì xác suất mỗi cửa là \[0,5\]
Tại phòng 1:
Mặt sấp có 2 cửa ngang là kho báu (xác suất \(1\)) và phòng 2 với xác suất là: \(0,5.\left( {0,5.1 + 0,5.{P_2}} \right)\)
Mặt ngửa chỉ có 1 cửa dọc là phòng 3 với xác suất là: \(0,5.{P_3}\).
Phương trình \[\left( 1 \right)\] là: \({P_1} = 0,25 + 0,25{P_2} + 0,5{P_3}\)
Tại phòng 2:
Mặt sấp chỉ có 1 cửa ngang là phòng 1 với xác suất là \(0,5{P_1}\)
Mặt ngửa chỉ có 1 cửa dọc là phòng 4 với xác suất:\(0,5{P_4}\)
Phương trình \[\left( 2 \right)\] là \({P_2} = 0,5{P_1} + 0,5{P_4}\)
Tại phòng 3:
Mặt sấp chỉ có 1 cửa ngang là phòng 4 với xác suất là \(0,5{P_4}\)
Mặt ngửa chỉ có 1 cửa dọc là phòng 1 với xác suất là \(0,5{P_1}\)
Phương trình \[\left( 3 \right)\] là \({P_3} = 0,5{P_1} + 0,5{P_4}\)
Tại phòng 4:
Mặt sấp có 2 cửa ngang là phòng 3 và bẫy (xác suất \(0\)) với xác suất là: \(0,5.\left( {0,5.{P_3} + 0,5.0} \right)\).
Mặt ngửa chỉ có 1 cửa dọc là phòng 2 với xác suất là \(0,5{P_2}\)
Phương trình \[\left( 4 \right)\] là \({P_4} = 0,25{P_3} + 0,5{P_2}\)
Từ \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 3 \right)\) ta thấy ngay: \({P_2} = {P_3}\).
Thay \({P_3} = {P_2}\) vào phương trình \(\left( 4 \right)\) ta được: \({P_4} = 0,25{P_2} + 0,5{P_2} = 0,75{P_2}\)
Thay \({P_4} = 0,75{P_2}\)vào phương trình \(\left( 2 \right)\) ta được: \({P_2} = 0,5{P_1} + 0,5\left( {0,75{P_2}} \right)\)
Khi đó: \({P_2} = 0,5{P_1} + 0,375{P_2} \Rightarrow 0,625{P_2} = 0,5{P_1} \Rightarrow {P_2} = 0,8{P_1}\)
Vì \({P_3} = {P_2}\) nên ta cũng có \({P_3} = 0,8{P_1}\).
Thay tất cả vào phương trình \[\left( 1 \right)\]: