Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp 1;2;3;4;5;6;7;8;9;11;12;13;16;17;21 vào 15 ô vuông trong hình dưới
17/22
PHẦN III: Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.
Trong một trò chơi bạn Bình cần vượt qua một thử thách. Theo yêu cầu của thử thách, Bình cần điền tất cả 15 số thuộc tập hợp \(1;2;3;4;5;6;7;8;9;11;12;13;16;17;21\) vào 15 ô vuông trong hình dưới thỏa mãn đồng thời ba điều kiện sau:
– Mỗi ô điền đúng một số và mỗi số chỉ được sử dụng một lần;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một hàng không chia hết cho 5;
– Hiệu hai số ở hai ô bất kì khác nhau trên cùng một cột không chia hết cho 5.
Hai cách điền gọi là giống nhau nếu số điền ở mỗi ô tương ứng trong 15 ô là giống nhau (không tính đến thứ tự điền các số vào 15 ô vuông). Gọi \(H\) là số cách điền khác nhau để bạn Bình vượt qua được thử thách. Giá trị của \(\frac{H}{{10}}\) bằng bao nhiêu?
Các số cần điền là: \(1;2;3;4;5;6;7;8;9;11;12;13;16;17;21\).
Điều kiện “hiệu hai số không chia hết cho \(5\)” có nghĩa là hai số đó không cùng số dư khi chia cho \(5\).
Ta chia các số theo số dư khi chia cho \(5\):
Số dư | Các số | Số lượng |
Dư 1 | 1, 6, 11, 16, 21 | 5 |
Dư 2 | 2, 7, 12, 17 | 4 |
Dư 3 | 3, 8, 13 | 3 |
Dư 4 | 4, 9 | 2 |
Dư 0 | 5 | 1 |
Bảng có dạng bậc thang gồm: Hàng 1 có 5 ô;
Hàng 2 có 4 ô;
Hàng 3 có 3 ô;
Hàng 4 có 2 ô;
Hàng 5 có 1 ô.
Đồng thời các cột cũng có số ô lần lượt là \(5,4,3,2,1\).
Vì trong cùng hàng và cùng cột không được có hai số cùng dư mod \(5\), nên trước hết ta chỉ xét cách đặt các nhóm số dư.
Cách đặt nhóm số dư bị ép theo dạng bậc thang. Sau khi đặt nhóm số dư, trong mỗi nhóm dư ta có thể hoán vị các số thật.
Số cách hoán vị trong từng nhóm là: \(5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!\)
Tính: \(5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1! = 120 \cdot 24 \cdot 6 \cdot 2 \cdot 1 = 34560\).
Vậy: \(H = 34560\).
Do đề hỏi \(\frac{H}{{10}}\) nên: \(\frac{H}{{10}} = \frac{{34560}}{{10}} = 3456\).
Đáp án: \(3456\).