Trong một dự án thiết kế nội thất sảnh chính của một tòa nhà cao tầng, kiến trúc sư muốn lắp đặt hệ thống đèn trang trí gồm hai khối pha lê hình cầu (S) và (S′). Trong hệ trục tọa độ Oxyz, đơ

21/22

Trong một dự án thiết kế nội thất sảnh chính của một tòa nhà cao tầng, kiến trúc sư muốn lắp đặt hệ thống đèn trang trí gồm hai khối pha lê hình cầu $(S)$và $(S')$. Trong hệ trục tọa độ $Oxyz$, đơn vị là (mét), phương trình của hai khối cầu này là $(S):{x^2} + {y^2} + {(z + 1)^2} = 3$ và $(S'):{(x - 3)^2} + {(y + 2)^2} + {(z + 2)^2} = 9$. Để tạo điểm nhấn, một tấm trần thạch cao phẳng $(P):2x + y - 2z - 5 = 0$được thiết kế cắt ngang qua cả hai khối pha lê. Tại vị trí giao nhau đó, các nghệ nhân sẽ gắn các viền hợp kim sáng bóng (là các đường tròn giao tuyến). Để thăng thêm sự bề thế, kiến trúc quyết định lắp thêm hai chụp đèn thủy tinh hình cầu $({T_1})$và \[({T_2})\]sao cho: Chụp đèn $({T_1})$ (Tâm ${I_1}$, bán kính ${R_1}$) phải ôm khít lấy viền hợp kim của khối $(S)$ trên trần $(P)$. Chụp đèn $({T_2})$ (Tâm ${I_2}$, bán kính ${R_2}$) phải ôm khít lấy viền hợp kim của khối $(S')$ trên trần $(P)$. Để đảm bảo tính cân đối về mặt thị giác và tối ưu hóa hệ thống dây cáp treo nối giữa các thiết bị, đơn vị thi công cần xác định vị trí của ${I_1}$và \[{I_2}\]sao cho tổng độ dài dây cáp nối hai tâm và bán kính của hai chụp đèn \[M = {I_1}{I_2} + {R_1} + {R_2}\] là nhỏ nhất. Tìm độ dài dây nhỏ nhất đó (đơn vị mét, làm tròn đến hàng phần chục).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: $7,4$.

$Vậy \[d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) \approx 3,8\]. (ảnh 1)$

Ta có hình biểu diễn như trên, với hai hình cầu màu vàng là hai viên pha lê, hai hình cầu màu tím là hai chụp đèn. Gọi$S$là tâm của$(S)$và$S'$là tâm của$(S')$.Ta thấy giao tuyến của hình cầu $(S)$và mặt phẳng $(P)$ là đường tròn $({C_1})$ có tâm$A(\frac{2}{3};\frac{1}{3}; - \frac{5}{3})$ và có bán kính ${r_1} = \sqrt {{{(\sqrt 3 )}^2} - d{{(S,(P))}^2}} = \sqrt {3 - 1} = \sqrt 2 $. Mặt khác, giao tuyến của hình cầu $(S')$và mặt phẳng $(P)$ là đường tròn $({C_2})$ có tâm$B(\frac{7}{3}; - \frac{7}{3}; - \frac{4}{3})$và có bán kính ${r_2} = \sqrt {{3^2} - d{{(S',(P))}^2}} = \sqrt {9 - 1} = 2\sqrt 2 $. Đường thẳng qua hai điểm $A,B$cắt hai đường tròn $({C_1})$ và $({C_2})$ tại hai điểm $C,D$ như hình vẽ.

Vì hình cầu $({T_1})$ phủ kín $({C_1})$ nên ${I_1}A \bot (P)$.

Tương tự ta có ${I_2}B \bot (P)$. Khi đó, ta có ${I_1},{I_2},A,B,C,D$ đồng phẳng. Xét mặt phẳng chứa ${I_1},{I_2},A,B,C,D$, ta có hình vẽ sau:

$Vậy \[d\left( {A,\left( {BCC'B'} \right)} \right) \approx 3,8\]. (ảnh 2)$

Như vậy, theo tính chất hình học của tam giác vuông và hình thang vuông,

\[\begin{array}{l}{I_1}{I_2} \ge AB\\{R_1} = {I_1}C \ge AC\\{R_2} = {I_2}D \ge BD\end{array}\]

Vì vậy \[M \ge AB + AC + BD\] hay \[M \ge \sqrt {10} + \sqrt 2 + 2\sqrt 2 \]. Dấu xảy ra khi \[{I_1} \equiv A\] và \[{I_2} \equiv B\]. Vậy giá trị nhỏ nhất của \[M\]là \[\sqrt {10} + \sqrt 2 + 2\sqrt 2 \approx 7,4\] (mét).