Trong một đợt kiểm tra sức khoẻ, có một loại bệnh X mà tỉ lệ người mắc bệnh là 0,2% và một loại xét nghiệm Y mà ai mắc bệnh X khi xét nghiệm Y cũng có phản ứng dương tín

1. Sai. Xét các biến cố:

A: “Người được chọn mắc bệnh \[X\]”;

B: “Người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\]”.

Theo giả thiết ta có: \[P\left( A \right) = 0,2\% = 0,002\] suy ra \[P\left( {\overline A } \right) = 1 - P\left( A \right) = 0,998\].

2. Sai. Xác suất người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] biết rằng người đó mắc bệnh \[X\] là \[P\left( {B|A} \right) = 1\].

3. Đúng. Có \[6\% \] những người không bị bệnh \[X\] lại có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] nên \[P\left( {B|\overline A } \right) = 6\% = 0,06\].

Theo công thức Bayes, ta có:

\[P\left( {A|B} \right) = \frac{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right)}}{{P\left( A \right) \cdot P\left( {B|A} \right) + P\left( {\overline A } \right) \cdot P\left( {B|\overline A } \right)}} = \frac{{0,002 \cdot 1}}{{0,002 \cdot 1 + 0,998 \cdot 0,06}} = \frac{{50}}{{1547}} \approx 0,03\].

Vậy nếu người được chọn có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] thì xác suất bị mắc bệnh \[X\] của người đó là khoảng 0,03.

4. Sai. Xác suất người được chọn không mắc bệnh \[X\] biết rằng người đó có phản ứng dương tính với xét nghiệm \[Y\] là \[P\left( {\overline A |B} \right) = 1 - P\left( {A|B} \right) = 1 - \frac{{50}}{{1547}} = \frac{{1497}}{{1547}}\].