Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24 g hương liệu, 9 lít nước và 210 g đường để pha chế nước cam và nước táo.

12/22

Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa $24g$ hương liệu, $9$ lít nước và $210$g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế $1$ lít nước cam cần $30$g đường, $1$ lít nước và $1$g hương liệu; pha chế $1$ lít nước táo cần $10$g đường, $1$ lít nước và $4$g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được $60$ điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được $80$ điểm thưởng. Đội A pha chế được $a$ lít nước cam và $b$ lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số $a - b$ là

$1$.

$3$.

$ - 1$.

$ - 6$.

Giải thích

Chọn C

Gọi $x,\;y$ lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế $\left( {x \ge 0;\,\,y \ge 0} \right)$.

Để pha chế $x$ lít nước cam cần $30x$g đường, $x$ lít nước và $x$g hương liệu.

Để pha chế $y$ lít nước táo cần $10y$g đường, $y$ lít nước và $4y$g hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

$\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\\x \ge 0;\;y \ge 0\end{array} \right.\quad \left( * \right)$.

Số điểm đạt được khi pha $x$ lít nước cam và $y$ lít nước táo là $M\left( {x,y} \right) = 60x + 80y$. Bài toán trở thành tìm $x,\;y$ để $M\left( {x,\,y} \right)$ đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ $\left( * \right)$ trên mặt phẳng tọa độ như sau:

$Vậy giá trị lớn nhất của $M\left( {x\,;\,y} \right)$ bằng \( (ảnh 1)$

Miền nghiệm là ngũ giác $ABCDE$.

Tọa độ các điểm: $A\left( {4\,;\,5} \right)$, $B\left( {6\,;\,3} \right)$, $C\left( {7\,;\,0} \right)$, $D\left( {0\,;\,0} \right)$, $E\left( {0\,;\,6} \right)$.

$M\left( {x,\,y} \right)$ sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức $M\left( {x,\,y} \right)$ ta được:

$M\left( {4\,;\,5} \right) = 640$; $M\left( {6\,;\,3} \right) = 600$, $M\left( {7\,;\,0} \right) = 420$, $M\left( {0\,;\,0} \right) = 0$, $M\left( {0\,;\,6} \right) = 480$.

Vậy giá trị lớn nhất của $M\left( {x\,;\,y} \right)$ bằng $640$ khi $x = 4;\;y = 5$ $ \Rightarrow a = 4;\;b = 5 \Rightarrow a - b = - 1$.