Trong một cửa hàng, nhà quản lý dự định treo một đồ trang trí trên cao. Vật trang trí được đặt trên giá đỡ nằm dưới thanh treo 1 m

Đặt \(OH = x\left( {0 \le x \le 1} \right)\) ta có\(OA = OB = \sqrt {{{\left( {\frac{3}{2}} \right)}^2} + {x^2}} = \sqrt {\frac{9}{4} + {x^2}} \) và \(OC = 1 - x\).

Tổng độ dài các dây xích là

\(L\left( x \right) = 2\left( {OA + OB + OC} \right)\)\( = 2\left( {2\sqrt {\frac{9}{4} + {x^2}} + 1 - x} \right)\)\( = 4\sqrt {\frac{9}{4} + {x^2}} + 2 - 2x\).

\(L'\left( x \right) = \frac{{4x}}{{\sqrt {\frac{9}{4} + {x^2}} }} - 2 = 0\)\( \Leftrightarrow \sqrt {\frac{9}{4} + {x^2}} = 2x \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge 0\\4{x^2} = {x^2} + \frac{9}{4}\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)

Bảng biến thiên:

Vậy chiều dài tối thiểu của dây xích là \(L\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right) = 2 + 3\sqrt 3 \) (m).