Trong một công viên, người ta thiết kế một bồn hoa có mép cong được mô tả bởi một phần của đồ thị hàm số y = 4x - x^3 (đơn vị tính bằng mét). Một lối đi thẳng AB được làm trùng với tiếp tuyến
33/40
Trong một công viên, người ta thiết kế một bồn hoa có mép cong được mô tả bởi một phần của đồ thị hàm số \(y = 4x - {x^3}\) (đơn vị tính bằng mét). Một lối đi thẳng \(AB\) được làm trùng với tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(A\left( {2;0} \right)\). Điểm \(B\) là giao điểm thứ hai của tiếp tuyến với đồ thị. Phần diện tích giới hạn bởi đường cong và đoạn thẳng \(AB\) được dùng để trồng hoa. Hãy tính diện tích phần đất trồng hoa đó (đơn vị mét vuông), (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Đáp án: ____
Ta có \(y' = 4 - 3{x^2}\), ta có \(y'\left( 2 \right) = - 8\).
Phương trình tiếp tuyến tại \(A\)của đồ thị hàm số là \(y - 0 = - 8\left( {x - 2} \right) = - 8x + 16\).
Hoành độ của \(B\) là nghiệm (âm) của phương trình \(4x - {x^3} = - 8x + 16\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2}\left( {x + 4} \right) = 0\).
Do đó \(B\left( { - 4;48} \right)\).
Diện tích trồng hoa là \(\int\limits_{ - 4}^2 {\left| {\left( { - 8x + 16} \right) - \left( {4x - {x^3}} \right)} \right|dx} = 108\;\left( {{m^2}} \right)\).
Đáp án cần nhập là: 108.