Trong một cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiềuc ao là 2 mét. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét), với các điểm ở đáy A (
15/22
Trong một cảnh dựng phim có một ngôi nhà, mái nhà là hình chóp tứ giác đều S.ABCD có chiềuc ao là 2 mét. Trong hệ tọa độ Oxyz (đơn vị đo trên các trục tính bằng mét), với các điểm ở đáy \[A\left( {6;4;2} \right)\], \[B\left( {6;6;2} \right),C\left( {4;6;2} \right),D\left( {4;4;2} \right)\]và \(S\) là đỉnh của mái nhà.
[NB] Đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z - 2 = 0\).
[TH] Tọa độ đinh chóp của mái nhà là \(S(5;4;5)\).
[TH] Mặt nghiêng của mái nhà (SBC) tạo với mặt phẳng (Oxz) một góc \(\varphi \) thì \(\cos \varphi = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\).
[VD,VDC] Một đèn chiếu đặt tại \(L(5;10;2)\) chiếu sáng lên mái nhà từ bên phải. Một màn đặt trùng với mặt phẳng tọa độ (Oxz), trên đó sẽ xuất hiện bóng của mái nhà là hình tam giác \(S'B'C'\) (như hình vẽ trên). Diện tích tam giác \(S'B'C'\) bằng 10 mét vuông
Chọn a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng.
a) Vì \({z_A} = {z_B} = {z_C} = {z_D} = 2\)nên đáy của mái nhà nằm trên mặt phẳng \(z - 2 = 0\).
b) Tọa độ đinh chóp của mái nhà là \(S(5;4;5)\).
Gọi I là tâm của ABCD. Có I là trung điểm của AC nên \[I\left( {5;5;2} \right)\]. Có \(SI \bot \left( {ABCD} \right)\) nên \(S\left( {5;5;z} \right)\) với z > 2. Vì \(SI = 2 \Rightarrow \sqrt[{}]{{{0^2} + {0^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2}}} = 2 \Rightarrow \left| {z - 2} \right| = 2\) và \({z_S} > 2 \Rightarrow S\left( {5;5;4} \right)\)
c) Có \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;1; - 2} \right)\) và \(\overrightarrow {SC} = \left( { - 1;1; - 2} \right)\). Do đó mặt phẳng (SBC) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {SC} } \right] = \left( {0;4;2} \right)\). Mặt phẳng (Oxz) có 1 vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow k = \left( {0;1;0} \right)\)
Do đó góc giữa hai mặt phẳng \((SBC)\) và \((Oxz)\) là \(\varphi \) thì \[\cos \varphi = \frac{{\left| {0 + 4 + 0} \right|}}{{\sqrt[{}]{{{0^2} + {4^2} + {2^2}}}.\sqrt[{}]{{{0^2} + {1^2} + {0^2}}}}} = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\].
d) Phương trình tham số của đường thẳng \(LB\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + t\\y = 10 - 4t\\z = 2\end{array} \right.\)
\(B'\left( {5 + t;\,10 - 5t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LB\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).
Suy ra: \(10 - 4t = 0\, \Leftrightarrow \,t = 2,5\). Do đó \(B'\left( {7,5;\,0;\,2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(LC\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 - t\\y = 10 - 4t\\z = 2\end{array} \right.\)
\(C'\left( {5 - t;\,10 - 4t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LC\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).
Suy ra: \(10 - 4t = 0\, \Leftrightarrow \,t = \frac{5}{2}\). Do đó \(C'\left( {\frac{5}{2};\,0;\,2} \right)\).
Phương trình tham số của đường thẳng \(LS\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5\\y = 10 - 5t\\z = 2 + 2t\end{array} \right.\)
Ta có \(S'\left( {5;\,10 - 5t;\,2} \right)\) là giao điểm của \(LS\) và mặt phẳng \(\left( {Oxz} \right)\): \(y = 0\).
Suy ra: \(10 - 5t = 0\, \Leftrightarrow \,t = 2\). Do đó \(S'\left( {5;\,0;\,6} \right)\).
Ta có: \(S'B' = \frac{{\sqrt {89} }}{2}\), \(S'C' = \frac{{\sqrt {89} }}{2};\,B'C' = 5\)
Áp dụng công thức hê-rông tao có: \({S_{\Delta S'B'C'}} = \sqrt {\frac{{5 + \sqrt {89} }}{2}.\frac{5}{2}.\frac{5}{2}.\left( {\frac{{\sqrt {89} - 5}}{2}} \right)} = 10\)