Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại B và C lấy điểm D,E cùng phía so với (P) sao cho

16/22

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại B và C lấy điểm D,E cùng phía so với (P) sao cho \(BD = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\) và \(CE = a\sqrt 3 \).Tính góc giữa hai mặt phẳng (ADE) và (ABC).

\[{30^0}.\]

\[{45^0}.\]

\[{60^0}.\]

\[{90^0}.\]

Giải thích

Trong mặt phẳng (P) cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) tại B và C lấy điểm D,E cùng phía so với (P) sao cho (ảnh 1)

Vẽ\[BC \cap DE = M \Rightarrow \left( {ADE} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AM\]

Ta có\[BD//CE \Rightarrow \frac{{BD}}{{CE}} = \frac{{MB}}{{MC}} = \frac{1}{2} \Rightarrow BM = BC = BA\]

Suy ra \[{\rm{\Delta }}AMC\] vuông tại \[A \Rightarrow AM \bot AC\]

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AM \bot AC}\\{AM \bot EC}\end{array}} \right. \Rightarrow AM \bot (ACE) \Rightarrow AM \bot AE \Rightarrow \Delta AME\) vuông tại AA.

Mặt khác ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{(ADE) \cap (ABC) = AM}\\{(ADE) \supset AE \bot AM}\\{(ABC) \supset AC \bot AM}\end{array}} \right. \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {ADE} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AE;AC} \right)} = \widehat {EAC}\)

Xét \[{\rm{\Delta }}AEC\] vuông tại C, có\[\tan \widehat {EAC} = \frac{{EC}}{{AC}} = \frac{{a\sqrt 3 }}{a} = \sqrt 3 \Rightarrow \widehat {EAC} = {60^0}\]

Đáp án cần chọn là: C