Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông

20/20

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông $ABCD$ có $A\left( {3;2} \right)$ và phương trình đường thẳng $BD:3x + 4y - 7 = 0$. Đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có phương trình là ${\left( {x - a} \right)^2} + {\left( {y - b} \right)^2} = {R^2}$. Khi đó $25ab{R^2}$ bằng bao nhiêu?

Giải thích

$Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$, cho hình vuông (ảnh 1)$

Gọi $I$ là giao điểm của $AC$ và $BD$. Hạ $IH \bot AB$.

Suy ra $I,R = IH$ là tâm và bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$.

$AC$ là đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $BD$ có phương trình là $4x - 3y - 6 = 0$.

Tọa độ điểm $I$ là nghiệm của hệ $\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y - 7 = 0\\4x - 3y - 6 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{9}{5}\\y = \frac{2}{5}\end{array} \right.$$ \Rightarrow I\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)$.

Ta có $AC = 2d\left( {A,BD} \right) = 2 \cdot \frac{{\left| {3 \cdot 3 + 4 \cdot 2 - 7} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {4^2}} }} = 4$. Suy ra $AB = 2\sqrt 2 \Rightarrow AH = \sqrt 2 $.

Xét $\Delta AIH$ có $IH = \sqrt {A{I^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}} = \sqrt 2 $.

Vậy đường tròn nội tiếp hình vuông $ABCD$ có phương trình là ${\left( {x - \frac{9}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{2}{5}} \right)^2} = 2$.

Suy ra $a = \frac{9}{5};b = \frac{2}{5};{R^2} = 2$. Vậy $25ab{R^2} = 36$.

20 câu trắc nghiệm Toán 10 Cánh diều Bài 5. Phương trình đường trò (Đúng sai - trả lời ngắn) có đáp án

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ \(Oxy\), cho hình vuông