Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm A ( 1 ; 2 ) và đường thẳng Δ : x − y + 2 = 0 .

Hướng dẫn giải

a) S, b) Đ, c) S, d) Đ

a) \(d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {1 - 2 + 2} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

b) Ta có \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Vì đường thẳng \(d \bot \Delta \) nên nhận \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) làm một vectơ chỉ phương. Do đó nhận \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Đường thẳng \(d\) có phương trình là \(\left( {x - 1} \right) + \left( {y - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3 = 0\).

c) Ta có \(R = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

Do đó \(\left( C \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = \frac{1}{2}\).

d) Vì \(I\left( {a;b} \right) \in \Delta \) nên \(I\left( {a;a + 2} \right)\).

Vì đường tròn \(\left( S \right)\) bán kính \(R = 3\) và tiếp xúc với trục hoành nên ta có:

\(\left| {a + 2} \right| = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + 2 = - 3\\a + 2 = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 5\\a = 1\end{array} \right.\).

Vì \(a > 0,b > 0\) nên \(I\left( {1;3} \right)\). Do đó \(a + b = 4\).