Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho parabol (P):y = x^2 và đường thẳng (d):y = 2x + m^2.

Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\):

\({x^2} = 2x + {m^2} \Leftrightarrow {x^2} - 2x - {m^2} = 0{\rm{ }}\) \(\left( 1 \right)\)

Ta có: \(\Delta ' = 1 + {m^2}\).

Suy ra \(\Delta ' > 0\) với mọi giá trị của \(m\).

Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Vậy \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) =  - 3\).

Vì \({x_1},{x_2}\) là hoành độ giao điểm của của đường thẳng \((d)\) và parabol \((P)\) nên \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\).

Theo định lý Vi-ét, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1}{x_2} =  - {m^2}}\end{array}} \right.\).

Từ đó: \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) =  - 3\).

\( \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} + {x_1}{x_2} + 4 = 0\)

Suy ra \(2 - {m^2} + 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow m =  \pm \sqrt 6 \).

Vậy để \(\left( {{x_1} + 1} \right)\left( {{x_2} + 1} \right) =  - 3\) thì \(m =  \pm \sqrt 6 \).