Trong mặt phẳng toạ độ (Oxy), cho parabol ( P):y = x^2 và đường thẳng

2a) Chứng minh \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

\({x^2} = \left( {m + 2} \right)x - m \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x + m = 0\)

Ta có \[{\rm{\Delta }} = {\left( {m + 2} \right)^2} - 4m = {m^2} + 4 \ge 4 > 0\] với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên phương trình \[\left( 1 \right)\] luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó \(\left( d \right)\) luôn cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt.

2b) Tìm tất cả giá trị của \(m\) để \(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\).

Áp dụng định lí Viet ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = m + 2}\\{{x_1}{x_2} = m}\end{array}} \right.\)

\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}} \Leftrightarrow \frac{{{x_1} + {x_2}}}{{{x_1}{x_2}}} = \frac{1}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

Khi đó ta được \(\frac{{m + 2}}{m} = \frac{1}{m}\left( {m \ne 0} \right) \Leftrightarrow m =  - 1\) (tmđk)

Vậy \(m =  - 1\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.