Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số y = (x − 2)/(x + 4) có đồ thị là (C). Một hình chữ nhật có hai đỉnh A, B nằm trên một nhánh của (C) và hai đỉnh C, D nằm trên nhánh còn lại. Biết rằng h

Đồ thi hàm số có tiệm cận đứng \(x = - 4\)và tiệm cận ngang \(y = 1\)nên tâm đối xứng \(I\left( { - 4;1} \right)\)
Thực hiện phép tịnh tiến hệ trục tọa độ\(Oxy\) về tâm\(I\)bằng cách đặt: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{X = x + 4}\\{Y = y - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = X - 4}\\{y = Y + 1}\end{array}} \right.\)
Thay vào hàm số ban đầu: \(Y + 1 = \frac{{\left( {X - 4} \right) - 2}}{X} = \Leftrightarrow Y = - \frac{6}{X}\)
Đồ thị \(\left( C \right)\) lúc này trở thành đường Hyperbol cơ bản \(\left( H \right):Y = - \frac{6}{X}\) trong hệ tọa độ mới\(IXY\).
Vì các đỉnh đối xứng nhau qua tâm \(I\left( {0;0} \right)\) trong hệ tọa độ\(IXY\), ta gọi tọa độ các đỉnh là:
\(A\left( { - a;\frac{6}{a}} \right)\)và \(B\left( { - b;\frac{6}{b}} \right)\)thì \(C\left( {a; - \frac{6}{a}} \right)\)và \(D\left( {b; - \frac{6}{b}} \right)\)
Khi đó \(\overrightarrow {AB} = \left( { - b - \left( { - a} \right);\frac{6}{b} - \frac{6}{a}} \right) = \left( {a - b} \right)\left( {1;\frac{6}{{ab}}} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {a - \left( { - b} \right); - \frac{6}{a} - \frac{6}{b}} \right) = - \left( {a + b} \right)\left( {1; - \frac{6}{{ab}}} \right)\)
Vì \(ABCD\)là hình chữ nhật nên \(AB \bot BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC} = 0\)
\( \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1.1 + \left( { - \frac{6}{{ab}}} \right)\left( {\frac{6}{{ab}}} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow - \left( {a - b} \right)\left( {a + b} \right)\left[ {1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} \right] = 0\)
Vì \(a \ne b\), suy ra \(1 - \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}} = 0 \Rightarrow {a^2}{b^2} = 36\left( 1 \right)\)
Độ dài các cạnh: \(AB = \sqrt {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{6\left( {a - b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a - b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a - b} \right)\)
\(BC = \sqrt {{{\left( {a + b} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{{6\left( {a + b} \right)}}{{ab}}} \right)}^2}} = \left| {a + b} \right|\sqrt {1 + \frac{{36}}{{{a^2}{b^2}}}} = \sqrt 2 \left( {a + b} \right)\)
Theo đề bài, ta có \(AB.BC = 2\left( {{a^2} - {b^2}} \right) = 20 \Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = 10\,\,\,\left( 2 \right)\)
Từ \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\)ta có hệ : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} - {b^2} = 10}\\{{a^2}{b^2} = 36}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{a^2} = 5 + \sqrt {61} }\\{{b^2} = \sqrt {61} - 5}\end{array}} \right.\)
Chu vi \[P = 2\left( {AB + BC} \right) = 2\left[ {\sqrt 2 \left( {a - b} \right) + \sqrt 2 \left( {a + b} \right)} \right] = 4\sqrt 2 a\,\,\,\left( * \right)\]
Thay \(a = \sqrt {5 + \sqrt {61} } \)vào \(\left( * \right) \Rightarrow P = 4\sqrt {2\left( {5 + \sqrt {61} } \right)} = 4\sqrt {10 + 2\sqrt {61} } \approx 20,2\)