Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hai điểm C(1; 6) và D(11; 2).Tìm toạ độ của điểm E thuộc trục tung sao cho vectơ EC + vecto ED có độ dài ngắn nhất.

Lời giải

Giả sử E(0; y_E) là điểm thuộc trục tung.

Với C(1; 6) và D(11; 2) ta có:

\[\overrightarrow {EC} = & & \left( {1;6 - {y_E}} \right)\] và \(\overrightarrow {ED} = \left( {11;2 - {y_E}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \left( {1 + 11;6 - {y_E} + 2 - {y_E}} \right)\)

\( \Rightarrow \overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} = \left( {12;8 - 2{y_E}} \right)\)

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} } \right| = \sqrt {{{12}^2} + {{\left( {8 - 2{y_E}} \right)}^2}} \)

Vì (8 – 2y_E)² ≥ 0 ∀ y_E

Nên 12² + (8 – 2y_E)² ≥ 12² ∀ y_E

Hay \(\sqrt {{{12}^2} + {{\left( {8 - 2{y_E}} \right)}^2}} \ge 12\) ∀ y_E

\( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} } \right| \ge 12\) ∀ y_E

Do đó độ dài của vectơ \(\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \) nhỏ nhất bằng 12

Dấu “=’ xảy ra 8 – 2y_E = 0

y_E = 4

Vậy với E(0; 4) thì vectơ \(\overrightarrow {EC} + \overrightarrow {ED} \) có độ dài ngắn nhất.