Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho đường thẳng (d):y = mx + 5.

2a)

Chứng minh đường thẳng \(\left( d \right)\) luôn đi qua điểm \[A\left( {0;5} \right)\] với mọi giá trị của \(m.\)

Thay \[x = 0,{\rm{ }}y = 5\] vào hàm số \[y = mx + 5\], ta được:

    \(5 = m.0 + 5 \Leftrightarrow 5 = 5\) (đúng với mọi \(m\))

Vậy đường thẳng \[\left( d \right)\] luôn đi qua điểm \[A\left( {0;5} \right)\].

2b)

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt Parabol \[\left( P \right):y = {x^2}\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là\[{x_1},{x_2}\] (với \[{x_1} < {x_2}\]) sao cho \[\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|.\]

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \[\left( P \right)\] và \[\left( d \right)\]:

    \({x^2} = mx + 5 \Leftrightarrow {x^2} - mx - 5 = 0\)  \[\left( * \right)\]

Vì \[ac = --5 < 0\] nên phương trình \[\left( * \right)\] luôn có hai nghiệm trái dấu

\( \Rightarrow \left( d \right)\) luôn cắt \[\left( P \right)\] tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \[{x_1},{x_2},\] với \({x_1} < 0 < {x_2}\) (do \[{x_1},{x_2}\] trái dấu và giả sử \({x_1} < {x_2}\)).

\( \Rightarrow \left| {{x_1}} \right| =  - {x_1}\) (do \({x_1} < 0\))

\(\left| {{x_2}} \right| = {x_2}\) (do \[{x_2} > 0\])

Mà \(\left| {{x_1}} \right| > \left| {{x_2}} \right|\)

\( \Rightarrow  - {x_1} > {x_2}\)

\[ \Leftrightarrow {x_1} + {x_2} < 0\]

\[ \Leftrightarrow m < 0\] (theo hệ thức Vi-ét)

Vậy \(m < 0\) là giá trị cần tìm.