Trong mặt phẳng tọa độ (Oxy), cho đường thẳng (d):y = (m + 2)x + 3 và parabol (P):y = x^2.

2a)

Chứng minh \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\):

\({x^2} = \left( {m + 2} \right)x + 3\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - \left( {m + 2} \right)x - 3 = 0\) (*).

Vì \(ac =  - 3 < 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt trái dấu với mọi giá trị của \(m\).

Suy ra \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của \(m\).

2b)

Tìm tất cả các giá trị của \(m\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có các hoành độ là các số nguyên.

Giả sử có giá trị \(m\) để phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm \({x_1}\), \({x_2}\) đều là số nguyên.

Áp dụng hệ thức Vi-et cho phương trình (*) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m + 2\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right.\).

Vì \({x_1};{x_2}\) nguyên, nên \[{x_1};{x_2} \in U\left( { - 3} \right)\], ta có bảng sau:

Vậy \[m = 0\]; \(m =  - 4\).