Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các vectơ a = ( 2 ; 5 ) , vectơ b = ( 3 ; − 7 ) , vectơ c = ( 1 ; 1 ) . Khi đó: a) vectơ a . vectơ b = 29

a) Sai

b) Sai

c) Đúng

d) Đúng

 

a) Ta có: \(\cos (\vec a,\vec b) = \frac{{\vec a \cdot \vec b}}{{|\vec a| \cdot |\vec b|}} = \frac{{2.3 + 5( - 7)}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}}  \cdot \sqrt {{3^2} + {{( - 7)}^2}} }} =  - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow (\vec a,\vec b) = 135^\circ \); \(\cos (\vec a,\vec c) = \frac{{\vec a \cdot \overrightarrow c }}{{|\vec a| \cdot |\overrightarrow c |}} = \frac{{2.1 + 5.1}}{{\sqrt {{2^2} + {5^2}}  \cdot \sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = \frac{{7\sqrt {58} }}{{58}} \Rightarrow (\vec a,\vec c) \approx 23,1986^\circ \).

b) Ta có: \(\vec d = (4x + 1;x + 4)\) tạo với \(\vec c\) một góc \(45^\circ \) nên:

\(\cos (\vec d,\vec c) = \frac{{\vec d \cdot \vec c}}{{|\vec d| \cdot |\vec c|}} = \frac{{4x + 1 + x + 4}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {{{(4x + 1)}^2} + {{(x + 4)}^2}} }} = \cos 45^\circ \)\(\)

\( \Leftrightarrow \frac{{5x + 5}}{{\sqrt 2  \cdot \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow 5x + 5 = \sqrt {17{x^2} + 16x + 17} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 1}\\{17{x^2} + 16x + 17 = 25{x^2} + 50x + 25}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge  - 1}\\{8{x^2} + 34x + 8 = 0}\end{array} \Leftrightarrow x =  - \frac{1}{4}.} \right.} \right.\)