Trong mặt phẳng Oxy, cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 4x − m + 1.

1)Phương trình đường thẳng (d) khi m = 4 là: y = 4x − 4 + 1 = 4x – 3.

Hoành độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 4 là:

x² = 4x – 3

 <=> x² – 4x + 3 = 0

 <=> x² – x – 3x + 3 = 0 <=> x (x – 1) – 3 (x – 1) = 0 <=> (x – 1) (x – 3) = 0 <=>  x=1x=3

Khi x = 1 thì y = 1² = 1

Khi x = 3 thì y = 3² = 9

Vậy tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi m = 4 là: (x; y) = (1; 1) và (x; y) = (3; 9).

2)Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P) là:

x²= 4x − m + 1

<=>  x²− 4x + m − 1= 0

Ta có: △ = b² – 4ac = (−4)² – 4. (m – 1) = – 4m + 20

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì:

 ∆ > 0

 – 4m + 20 > 0

 – 4m > – 20

m < 5

Theo định lý Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = – ba = 4 (1)

x₁.x₂ =  ca = m – 1 (2)

Ta có: x1  =   2x2

x₁ = 2x₂ (3)

Từ (1) ta có: x₁ = 4 – x₂ thay vào (3) ta được:

<=>4 – x₂ = 2x₂

  <=> 3x₂ = 4

<=>  x₂ = 43

Vậy x₁ = 4 – x₂ = 4 –  43 =  83

Thay x₁ = 83 và x₂ =  43 vào (2) ta được:

43.83 = m – 1

 <=> m =  329 + 1

<=> m =  419(TMĐK)

Vậy m =  419.