Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Tìm tất cả các vectơ pháp tuyến có độ dài 2 căn bậc hai của 5 của đường thẳng ∆.

Hướng dẫn giải

Dựa vào phương trình tổng quát của đường thẳng ∆: 2x – y + 5 = 0. Đường thẳng ∆ có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow n = \left( {2; - 1} \right)\]nên các vectơ pháp tuyến của ∆ có dạng là \[\overrightarrow {n'} = \left( {2t; - t} \right)\]. Theo giả thiết ta có:

\(\left| {\overrightarrow {n'} } \right| = \sqrt {{{\left( {2t} \right)}^2} + {{\left( { - t} \right)}^2}} = 2\sqrt 5 \)

⇔ 4t² + t² = 20

⇔ 5t² = 20

⇔ t² = 4

⇔ t = ±2

Với t = 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(\overrightarrow {{n_1}'} \) = (4; –2)

Với t = – 2, ta được vectơ pháp tuyến thỏa mãn yêu cầu đề bài là: \(\overrightarrow {{n_2}'} \) = (–4; 2).

Vậy có hai vectơ pháp tuyến thỏa mãn là \(\overrightarrow {{n_1}'} \) = (4; –2) và \(\overrightarrow {{n_2}'} \) = (–4; 2).