Trong mặt phẳng, cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc

5/40

Trong mặt phẳng, cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm A1, A2, ..., A10 và trên tia Oy lấy 10 điểm B1, B2, ...., B10 thỏa mãn OA1 = A1A2 = ...= A9A10 = OB1 = B1B2 = ....= B9B10 = 1(đvd). Chọn ra ngẫu nhiên một tam giác có đỉnh nằm trong 20 điểm A1, A2, ...., A10, B1, B2, ..., B10. Xác suất để tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy là

1228

2225

1225

1114

Giải thích

Chọn B

· Bổ đề: Trong mặt phẳng cho hai tia Ox và Oy vuông góc với nhau tại gốc O. Trên tia Ox lấy 10 điểm A1, A2, ..., A10 và trên tia Oy lấy 10 điểm B1, B2, ...., B10 thỏa mãn OA1 = A1A2 = ...= A9A10 = OB1 = B1B2 = ....= B9B10 = 1(đvd).

Tìm số tam giác có 2 đỉnh nằm trong 10 điểm 1 đỉnh nằm trong 10 điểm B1, B2, ...., B10 sao cho tam giác chọn được có đường tròn ngoại tiếp, tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy?

Giải: Gọi là 3 đỉnh của tam giác thỏa yêu cầu bài toán với

Ta có

Do đường tròn luôn cắt Ox tại phân biệt nên đường tròn chỉ có thể tiếp xúc với Oy tại Bp ta có phương tích

Do nên dễ thấy

hay nói cách khác bộ ba (m,n,p)

Vậy có 4 tam giác thỏa mãn yêu cầu bổ đề.

· Bài toán: Không gian mẫu

Gọi A là biến cố chọn được tam giác có đường tròn ngoại tiếp tiếp xúc với một trong hai trục Ox hoặc Oy. Theo bổ đề ta chọn được 4 tam giác có 2 đỉnh thuộc tia Ox, 1 đỉnh thuộc tia Oy; tương tự có 4 tam giác có 1 đỉnh thuộc tia Oy, đỉnh thuộc tia . Suy ra, n(A) = 8

Xác suất biến cố A là